Родился 31 января 1925 года в уездном городе Козлове Тамбовской губернии (ныне город Мичуринск Тамбовской области) в семье рабочего. Окончил 10 классов мичуринской школы № 50. До призыва на военную службу работал учителем физкультуры в этой же школе.

В ряды Красной армии Э. Д. Потапов был призван в июле 1943 года. Боевое крещение красноармеец принял в ходе Полтавско-Кременчугской операции. Э. Д. Потапов отличился в боях за высоты у села Мишурин Рог, под огнём противника сумел вынести с нейтральной полосы один станковый и два ручных пулемёта, чем способствовал отражению вражеских атак. В бою Э. Д. Потапов был тяжело ранен и эвакуирован в госпиталь.

После выздоровления он окончил курсы младших лейтенантов и весной 1944 года получил назначение в 50-й гвардейский стрелковый полк 15-й гвардейской стрелковой дивизии 37-й армии 3-го Украинского фронта, где принял под командование взвод пулемётной роты. Гвардии младший лейтенант Э. Д. Потапов участвовал в Одесской операции, в ходе которой подразделения армии освободили значительную часть Одесской области и Приднестровье, форсировали Днестр и захватили плацдармы на его правом берегу. В боях с 19 апреля по 30 мая 1944 года взвод гвардии младшего лейтенанта Э. Д. Потапова отразил несколько контратак противника, уничтожив до 40 вражеских солдат и офицеров. 28 апреля 1944 года, когда в ходе ожесточённого боя из строя выбыли первые номера расчётов, Э. Д. Потапов лёг за пулемёт и лично уничтожил 16 солдат неприятеля.

Осенью 1944 года Э. Д. Потапов участвовал в боях на Сандомирском плацдарме. За умелое руководство взводом в декабре 1944 года ему было досрочно присвоено звание гвардии лейтенанта. В ходе наступления командир взвода станковых пулемётов гвардии лейтенант Э. Д. Потапов был временно переведён на должность командира взвода разведки батальона, заменив выбывшего из строя товарища. В одном из боёв отряд Потапова в течение пяти часов противостоял превосходящим силам противника, благодаря чему основные силы полка форсировали Одер без потерь.

26 января 1945 года за проявленный в боях героизм командир 50-го гвардейского стрелкового полка гвардии полковник Б. И. Бирин представил Э. Д. Потапова к званию Героя Советского Союза, за умелое руководство подразделением ему было присвоено внеочередное воинское звание гвардии старшего лейтенанта. Заслуженную награду Э. Д. Потапов получил лишь в 1946 году.

В конце февраля 1945 года во время выполнения задания по взятию контрольного пленного он был тяжело ранен. После операции в подвижном хирургическом госпитале был эвакуирован в Днепропетровск. Десять месяцев Э. Д. Потапов провёл на больничной койке. После излечения в январе 1946 года его направили для прохождения дальнейшей службы в запасной полк, расквартированный в Харькове, откуда в скором времени он был уволен в запас по состоянию здоровья в звании капитана.

Э. Д. Потапов вернулся в Мичуринск. В 1958 году окончил Тамбовский институт физической культуры и спорта, после чего работал преподавателем физкультуры в Мичуринском технологическом техникуме около 25 лет.

Именем Героя Советского Союза названа Мичуринская школа №18, в школьном музее хранятся фотографии, копии наград Э. Д. Потапова.

Умер Э. Д. Потапов 28 мая 1987 года. Похоронен в Мичуринске.

Материал предоставлен областным музеем физической культуры и спорта СТЦ «Тамбов».