Александр Мазур, будущий известный атлет, появился на свет 30 августа 1913 года в украинской деревне Поповка. Он рос в многодетной и небогатой семье, став самым младшим из шести детей. Уже в одиннадцатилетнем возрасте Александр начал трудовую деятельность в местном совхозе. Отличаясь крепким телосложением, унаследованным от всей семьи, он любил участвовать в любительских борцовских состязаниях, где часто одерживал победы как в родной деревне, так и за ее пределами.

Судьбоносной для Александра стала встреча с цирковыми артистами в 1934 году в городе Бар. Там он привлек внимание тренера Григория Колотилина, который, заметив выдающиеся физические данные юноши, предложил ему попробовать свои силы в упражнениях с гирями. Результаты превзошли все ожидания, и Мазуру предложили работу в цирковой труппе. Несмотря на опасения родителей, Александр решил начать артистическую карьеру. Ему был придуман сценический псевдоним – Богатырев, под которым он выступал на протяжении семи лет. Знаменательным событием стала встреча с легендарным Иваном Поддубным в 1937 году, с которым у Александра завязалась крепкая дружба и переписка.

В 1939 году, в рамках всесоюзного первенства по борьбе в тяжелой весовой категории, организованного Комитетом по делам физкультуры и спорта, Александр Мазур, один из шести лучших цирковых борцов, не смог принять участие из-за досадного инцидента. За несколько часов до начала соревнований у него в руках взорвалась бутылка "Боржоми", что привело к травме. В 1940 году ему помешала болезнь – грипп, из-за которого он снова пропустил чемпионат. А в 1941 году началась война, и Мазур был призван на фронт.

15 июля 1941 года Александр Мазур отправился на передовую в составе 805-го отдельного саперного батальона, занимавшегося возведением оборонительных сооружений под Москвой. Несмотря на то, что ему была предоставлена бронь от Госцирка, он отказался от нее и пошел воевать. В тяжелейших боях под Москвой он чудом остался жив и не получил ранений. Из всего его подразделения в живых осталось всего двенадцать человек.

Спортивная карьера Мазура достигла пика уже после войны - в 1955 году, когда в возрасте 42 лет он триумфально выступил на чемпионате мира в Карлсруэ, Германия. Одержав победу над шведским борцом Бертилем Антонссоном, он стал первым советским чемпионом мира в тяжелом весе по греко-римской борьбе. Ранее, в период с 1944 по 1949 год, Мазур четырежды завоевывал титул чемпиона СССР (1944, 1945, 1947, 1949). Примечательно, что из 13 чемпионатов СССР по классической борьбе, в которых он участвовал, ни один не завершился без медали для него.

В декабре 1942 года он был отозван для организации спортивного мероприятия, а в следующем году принял участие в соревнованиях по классической борьбе, где занял третье место.

Завершив карьеру, Мазур, заслуженный мастер спорта СССР, перешел на тренерскую работу, возглавив команду борцов ЦСКА. В 1963 году он был удостоен звания заслуженного тренера СССР и продолжал тренировать до 1990 года.

Помимо спортивной деятельности, Мазур также снимался в кино и занимался литературным творчеством.