Родился в 1919 году в селе Горевка Новосибирской области. В ряды Красной Армии был призван в 1940 году. Окончил полковую школу в г. Ворошилове, служил командиром отделения.

В 1943 году ушел добровольцем на фронт. Участвовал в Висло-Одерской операции, был ранен. Закончил войну в звании старшего лейтенанта 8 марта 1945 года.

За боевые заслуги Ф. П. Безгодов награжден орденом Александра Невского, медалью «За победу над Германией». После войны старший лейтенант Безгодов работал учителем физкультуры в школе № 77 города Белово Кемеровской области.

Рыбалко Николай Митрофанович (тренер-преподаватель МБУ ДО «Спортивной школы имени Макарова») рассказал о своем наставнике-учителе:

- Раньше возле вокзала была школа № 77, сейчас ее уже нет. Там судьба подарила мне встречу с человеком, который определил всю мою дальнейшую жизнь. Уроки физкультуры вел легендарный преподаватель Федор Поликарпович Безгодов. Федор Поликарпович офицер, воевал, был ранен, награжден орденом Александра Невского. Он многим мальчишкам дал путевку в спорт. При школе были секция легкой атлетики, лыжная, я везде ходил, все попробовал. Федор Поликарпович вначале возил меня на соревнования по легкой атлетике, а потом сказал — поступай в физкультурный техникум в Прокопьевск, из тебя, парень, выйдет толк.