Родился 28 декабря 1927 года в деревне Никийкино Ядринского района. В октябре 1944 года, завершив обучение в Больше-Чурашевской восьмилетней школе, был призван в ряды Советской Армии, где проходил службу на Северном флоте. Под Мурманском он освоил специальность радиометриста.

В период с октября 1944 по май 1945 года принимал непосредственное участие в боевых действиях Великой Отечественной войны. Его вклад в победу отмечен орденом Отечественной войны II степени, медалями «За боевые заслуги», «За оборону Заполярья», а также рядом юбилейных наград.

В 1956 году, после возвращения в Чебоксары, Аверкий Михайлович начал работать инструктором в Республиканском комитете по физической культуре и спорту. На этой должности он ежедневно тренировал борцов в спортивном обществе «Динамо», что привело к выдающимся результатам. За период с 1957 по 1963 годы он подготовил восемь кандидатов в мастера спорта и более тридцати спортсменов первого разряда.

Начало спортивной карьеры Аверкия Михайловича было положено в период обучения в школе курсантов, где он увлекся гиревым спортом и самбо. Во время службы в Таллине его заинтересовала классическая борьба. В 1948 году Аверкий Михайлович был направлен на службу в Ленинград, на Балтийский флот. С 1948 по 1950 годы он принимал участие в операциях по уничтожению мин в Норвежском и Рижском заливах.

Аверкий Абрамов, будучи тренером, активно участвовал в спортивной жизни республики и страны: семикратный чемпион республики по классической и двукратный – по вольной борьбе. Он успешно соревновался в составе ДСО «Урожай» и занимался судейством, получив одним из первых в регионе звание судьи республиканской категории.

Параллельно с работой преподавателем физкультуры в Профессиональном училище № 8, Абрамов подготовил шесть спортсменов-гиревиков первого разряда. Кроме того, он принимал участие в первенстве спортивного общества «Урожай» по гиревому спорту, проходившем в Москве. В 1960 году он стал победителем первенства Чувашии в гонке на каноэ-одиночке.

В 1970 году Аверкий Абрамов завершил обучение в Смоленском государственном институте физкультуры. С 1973 по 1980 год он занимал должность преподавателя на кафедре физического воспитания в ЧГУ имени И.Н. Ульянова.