Леонид Мешков, выдающийся советский пловец и будущий тренер, родился в семье кузнеца в Царицыне (ныне Волгоград). Плаванию он обучился в ранние годы, проводя много времени на Волге. После семилетней школы Мешков поступил в техникум, но предпочёл карьеру в спорте работе. Его талант и выносливость быстро привлекли внимание тренеров, и вскоре он стал лучшим пловцом в городе. В 1934 году на всесоюзных соревнованиях в Москве Мешков потерпел неудачу из-за отсутствия опыта выступлений в закрытой воде. Однако, сделав выводы, он в том же году на Спартакиаде завоевал золотые медали и установил несколько рекордов. К концу 1930-х Мешков стал одним из ведущих пловцов СССР. В 1936 году он выиграл первенство профсоюзов, а в 1938 стал чемпионом страны на четырёх дистанциях и переехал в Ленинград.

С началом Великой Отечественной войны он добровольцем ушёл на фронт. После зачисления в народное ополчение, его перевели в стрелковую дивизию, дислоцированную на Ленинградском фронте. Под Кингисеппом он проявил героизм, когда его взвод отразил атаку противника, уничтожив 40 солдат и две единицы бронетехники. В августе 1941 года богатырское здоровье Мешкова помогло ему во время ответственной миссии: его командование поручило ему и товарищу переправиться через реку Лугу для разведки. Предыдущие попытки переправы на лодках оказались безуспешными, поэтому выбор пал на Мешкова, известного своим умением плавать. Ночью Мешков и его сослуживец Кулаков успешно пересекли реку и добыли необходимые сведения. Однако на обратном пути их обнаружили немецкие солдаты и открыли огонь. Кулаков получил тяжелое ранение и потерял сознание. В безвыходной ситуации Мешков совершил подвиг: взвалив раненого товарища на спину, он поплыл к своему берегу под вражеским огнем. Превозмогая боль в поврежденной руке, он смог добраться до своих.

За проявленное мужество Мешков был награжден Орденом Славы. Из-за серьезной операции на руке он не смог продолжить участие в боевых действиях, но вернулся в спорт и, восстановившись после травмы, начиная с 1943 года многократно становился чемпионом СССР. Выступил на Олимпиаде-1952. По завершении карьеры Мешков стал тренером, подготовив не одно поколение советских чемпионов.

Он ушёл из жизни в 1986 году в возрасте 70 лет.